TALabs ไธ‰่ฝฎๅฃฐๅญฆๅฎž้ชŒๅฎค

ๅŠ ๅ…ฅๆˆ‘ไปฌ
ๅ…ณไบŽๆˆ‘ไปฌ

ๅŸบไบŽ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„้ซ˜้˜ถAmbisonics๏ผˆHOA๏ผ‰ๅฝ•้Ÿณๆ–นๅผ็ ”็ฉถ๏ผˆไธŠ๏ผ‰โ€”โ€”็†่ฎบ็ฏ‡๏ผšๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€ไธŽ้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—่ฎพ่ฎก

TALabsAdmin ็š„ๅคดๅƒ
TALabsAdmin
ๅŸบไบŽ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„้ซ˜้˜ถAmbisonics๏ผˆHOA๏ผ‰ๅฝ•้Ÿณๆ–นๅผ็ ”็ฉถ๏ผˆไธŠ๏ผ‰โ€”โ€”็†่ฎบ็ฏ‡๏ผšๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€ไธŽ้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—่ฎพ่ฎก

ๅŸบไบŽ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„้ซ˜้˜ถAmbisonics๏ผˆHOA๏ผ‰ๅฝ•้Ÿณๆ–นๅผ็ ”็ฉถ๏ผˆไธŠ๏ผ‰

โ€”โ€”็†่ฎบ็ฏ‡๏ผšๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€ไธŽ้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—่ฎพ่ฎก

ไธ€ใ€ๅผ•่จ€

็ฉบ้—ด้Ÿณ้ข‘ๆŠ€ๆœฏ่‡ช20ไธ–็บช30ๅนดไปฃไปฅๆฅ็ปๅŽ†ไบ†ๆผซ้•ฟ็š„ๅ‘ๅฑ•ๅŽ†็จ‹ใ€‚1973ๅนด๏ผŒMichael A. Gerzonๆๅ‡บไบ†Ambisonics๏ผˆ็Žฏ็ป•ๅฃฐ๏ผ‰็†่ฎบๆก†ๆžถ๏ผŒไปฅ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐไธบๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€๏ผŒๅฎž็Žฐไธ‰็ปดๅฃฐๅœบ็š„่ฎฐๅฝ•ไธŽ้‡ๅปบ[1]ใ€‚ไผ ็ปŸ็š„ไธ€้˜ถAmbisonics๏ผˆFirst-Order Ambisonics, FOA๏ผ‰ไฝฟ็”จ4ไธช้€š้“๏ผˆWใ€Xใ€Yใ€Z๏ผ‰ๅฏนๅฃฐๅœบ่ฟ›่กŒ็ผ–็ ๏ผŒ่™ฝ็„ถๅœจ็†่ฎบไธŠ่ƒฝๅคŸๅฎŒๆ•ดๆ่ฟฐไธ‰็ปด็ฉบ้—ดไธญ็š„ๅฃฐๅœบไฟกๆฏ๏ผŒไฝ†ๅ…ถ็ฉบ้—ดๅˆ†่พจ็Ž‡ๆœ‰้™๏ผŒๆœ€ไฝณๅฌ้ŸณๅŒบๅŸŸ๏ผˆsweet spot๏ผ‰้žๅธธ็‹ญๅฐ๏ผŒไป…็บฆ10ๅŽ˜็ฑณ่Œƒๅ›ดใ€‚

้š็€่ฎก็ฎ—่ƒฝๅŠ›็š„ๆๅ‡ๅ’Œ้บฆๅ…‹้ฃŽๅˆถ้€ ๅทฅ่‰บ็š„่ฟ›ๆญฅ๏ผŒ้ซ˜้˜ถAmbisonics๏ผˆHigher Order Ambisonics, HOA๏ผ‰ๅบ”่ฟ่€Œ็”Ÿใ€‚HOA้€š่ฟ‡ๅขžๅŠ ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๅฑ•ๅผ€้˜ถๆ•ฐ๏ผŒๆ˜พ่‘—ๆ้ซ˜ไบ†ๅฃฐๅœบ็š„็ฉบ้—ดๅˆ†่พจ็Ž‡๏ผŒไฝฟๆœ€ไฝณๅฌ้ŸณๅŒบๅŸŸๅคงๅน…ๆ‰ฉๅฑ•๏ผŒๅฎšไฝ็ฒพๅบฆๆ›ดๅŠ ็ฒพ็กฎใ€‚ๅฆ‚ไปŠ๏ผŒHOAๆŠ€ๆœฏๅทฒๅนฟๆณ›ๅบ”็”จไบŽVR/AR้Ÿณ้ข‘ใ€ๆฒ‰ๆตธๅผๅ‰งๅœบใ€ๅ…จๆ™ฏ่ง†้ข‘ใ€ๆธธๆˆ้Ÿณ้ข‘ไปฅๅŠ็ฉบ้—ดๅฃฐๅญฆๆต‹้‡็ญ‰้ข†ๅŸŸใ€‚ๆœฌๆ–‡๏ผˆไธŠ็ฏ‡๏ผ‰ๅฐ†็ณป็ปŸ้˜่ฟฐ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€ใ€Ambisonics็†่ฎบๆก†ๆžถไปฅๅŠHOAๅฝ•้Ÿณ็š„ๆ ธๅฟƒ็กฌไปถโ€”โ€”็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—็š„่ฎพ่ฎกๅŽŸ็†ใ€‚

ไบŒใ€็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๆ•ฐๅญฆๅŸบ็ก€

็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผˆSpherical Harmonics, SH๏ผ‰ๆ˜ฏๅฎšไน‰ๅœจ็ƒ้ขไธŠ็š„ไธ€็ป„ๆญฃไบคๅŸบๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผŒๆ˜ฏๅ‚…้‡Œๅถๅˆ†ๆžๅœจ็ƒ้ขๅๆ ‡็ณป็š„่‡ช็„ถๆŽจๅนฟ[2]ใ€‚ๅœจ็ƒ้ขๅๆ ‡็ณป (r, theta, phi) ไธญ๏ผŒn ้˜ถ m ๅบฆ็š„็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅฎšไน‰ไธบ๏ผš

Spherical Harmonics formula

ๅ…ถไธญ๏ผŒn ไธบ้˜ถๆ•ฐ๏ผˆdegree๏ผ‰๏ผŒๅ–้ž่ดŸๆ•ดๆ•ฐ n = 0, 1, 2, ...๏ผ›m ไธบ้˜ถๆ•ฐๅ†…็š„ๅบๅท๏ผˆorder๏ผ‰๏ผŒๅ–ๅ€ผ่Œƒๅ›ดไธบ m = -n, -n+1, ..., n๏ผ›P_n^{|m|} ไธบๅ…ณ่”ๅ‹’่ฎฉๅพทๅ‡ฝๆ•ฐ[4]ใ€‚ๅฏนไบŽ้˜ถๆ•ฐ n๏ผŒๅ…ฑๆœ‰ 2n+1 ไธช็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผŒไปŽ0้˜ถๅˆฐ N ้˜ถ็š„็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๆ€ปๆ•ฐไธบ (N+1)^2 ไธชใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผš็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผˆSpherical Harmonics๏ผ‰

็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๆ˜ฏๅฎšไน‰ๅœจๅ•ไฝ็ƒ้ข S^2 ไธŠ็š„ไธ€็ป„ๅฎŒๅค‡ๆญฃไบคๅŸบๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผŒๅฏไปฅ็†่งฃไธบ”็ƒ้ขไธŠ็š„ๅ‚…้‡Œๅถ็บงๆ•ฐ”ใ€‚ๆญฃๅฆ‚ไธ€็ปดไฟกๅทๅฏไปฅๅˆ†่งฃไธบไธๅŒ้ข‘็Ž‡็š„ๆญฃๅผฆๆณขไน‹ๅ’Œ๏ผŒ็ƒ้ขไธŠ็š„ไปปๆ„ๅ‡ฝๆ•ฐ้ƒฝๅฏไปฅๅˆ†่งฃไธบไธๅŒ้˜ถๆ•ฐ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๅŠ ๆƒๅ’Œใ€‚

็‰ฉ็†็›ด่ง‰๏ผš0 ้˜ถ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ Y_0^0 ๆ˜ฏไธ€ไธชๅธธๆ•ฐ๏ผŒ่กจ็คบ”ๅ…จๅ‘”ๅˆ†้‡โ€”โ€”็ฑปไผผๅฃฐๅœบ็š„ๅนณๅ‡ๅฃฐๅŽ‹็บงใ€‚1 ้˜ถ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผˆY_1^{-1}, Y_1^0, Y_1^1๏ผ‰ๅฏนๅบ”ไธ‰ไธชๆญฃไบคๆ–นๅ‘็š„ๅถๆžๅญโ€”โ€”ๆ่ฟฐๅฃฐๅœบๅœจ Xใ€Yใ€Z ๆ–นๅ‘ไธŠ็š„ๆขฏๅบฆใ€‚2 ้˜ถๅŠไปฅไธŠๅˆ™ๅฏนๅบ”่ถŠๆฅ่ถŠ็ฒพ็ป†็š„็ฉบ้—ด”็บน็†”๏ผŒ็ฑปไผผไบŽๅ›พๅƒๅค„็†ไธญ้ซ˜้ข‘ๅˆ†้‡ๆ•่Žท็ป†่Š‚ไฟกๆฏใ€‚

ไธบไป€ไนˆ้‡่ฆ๏ผš็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๆญฃไบคๅฎŒๅค‡ๆ€งไฟ่ฏไบ† Ambisonics ็ผ–็ ็š„ๆ•ฐๅญฆไฟ็œŸๅบฆโ€”โ€”็†่ฎบไธŠ๏ผŒๅช่ฆ้˜ถๆ•ฐ่ถณๅคŸ้ซ˜๏ผŒไปปไฝ•ไธ‰็ปดๅฃฐๅœบ้ƒฝๅฏไปฅๆ— ๆŸๅœฐ็”จ็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐ่กจ็คบใ€‚่ฟ™ไธ€ๆ€ง่ดจๆ˜ฏ HOA ๆŠ€ๆœฏๅŒบๅˆซไบŽไผ ็ปŸๅคšๅฃฐ้“ๅฝ•้Ÿณ็š„ๆ นๆœฌไผ˜ๅŠฟใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผšๅ…ณ่”ๅ‹’่ฎฉๅพทๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผˆAssociated Legendre Functions๏ผ‰

ๅ…ณ่”ๅ‹’่ฎฉๅพทๅ‡ฝๆ•ฐ P_n^m(x) ๆ˜ฏ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ่ง’ๅ‘้ƒจๅˆ†็š„ๆž„ๆˆ่ฆ็ด ๏ผŒๅฏนๅบ”ไบŽ็ƒ้ขไธŠๆฒฟไปฐ่ง’๏ผˆฮธ๏ผ‰ๆ–นๅ‘็š„ๅ˜ๅŒ–ๆจกๅผใ€‚ๅฎƒๆ˜ฏๅ‹’่ฎฉๅพทๅพฎๅˆ†ๆ–น็จ‹็š„่งฃ๏ผŒๅœจ้‡ๅญๅŠ›ๅญฆ๏ผˆๆฐขๅŽŸๅญๆณขๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผ‰ใ€ๅœฐ็ฃๅญฆ๏ผˆๅœฐ็ฃๅœบๆจกๅž‹๏ผ‰ไธญไนŸๆœ‰ๅนฟๆณ›ๅบ”็”จใ€‚

ๅ…ณ้”ฎๆ€ง่ดจ๏ผšๅฏนไบŽ็ป™ๅฎš็š„้˜ถๆ•ฐ n๏ผŒๅ…ณ่”ๅ‹’่ฎฉๅพทๅ‡ฝๆ•ฐๅœจๅŒบ้—ด [-1, 1] ไธŠๆœ‰ n-|m| ไธช้›ถ็‚นใ€‚้›ถ็‚น่ถŠๅคšๆ„ๅ‘ณ็€ๅ‡ฝๆ•ฐๆŒฏ่ก่ถŠๅฟซใ€็ฉบ้—ดๅ˜ๅŒ–่ถŠๅ‰ง็ƒˆโ€”โ€”่ฟ™ๆญฃๆ˜ฏ้ซ˜้˜ถๅˆ†้‡่ƒฝๅคŸๆ•่Žท็ฒพ็ป†็ฉบ้—ด็ป“ๆž„็š„ๆ•ฐๅญฆๅŽŸๅ› ใ€‚ๅ‚ๆ•ฐ m ๅ†ณๅฎšไบ†ๅ‡ฝๆ•ฐๅœจๆ–นไฝ่ง’ๆ–นๅ‘็š„ๆŒฏ่ก้ข‘็Ž‡๏ผˆ้€š่ฟ‡ e^{im\phi} ้กนไฝ“็Žฐ๏ผ‰๏ผŒไปŽ่€Œๅฝขๆˆ็ƒ้ขไธŠไบŒ็ปด็š„็ฉบ้—ดๅ˜ๅŒ–ๆจกๅผใ€‚

่ฎก็ฎ—ๆณจๆ„๏ผš้ซ˜้˜ถๅ…ณ่”ๅ‹’่ฎฉๅพทๅ‡ฝๆ•ฐๆ•ฐๅ€ผ่ฎก็ฎ—ๅฎนๆ˜“ๆบขๅ‡บ๏ผŒๅทฅ็จ‹ไธญ้€šๅธธไฝฟ็”จ้€’ๆŽจๅ…ณ็ณปๅ’Œ้ซ˜็ฒพๅบฆๆ•ฐๅ€ผๅบ“ๆฅๅฎž็Žฐ็จณๅฎš่ฎก็ฎ—ใ€‚

็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅ„้˜ถๅฏ่ง†ๅŒ–
ๅ›พ1๏ผš็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ Y_n^m(ฮธ, ฯ†) ๅ„้˜ถๅฏ่ง†ๅŒ–ใ€‚0้˜ถไธบๅ…จๅ‘ๅˆ†้‡๏ผŒ1้˜ถๅŒ…ๅซไธ‰ไธชๅถๆžๅญๅˆ†้‡๏ผŒ2้˜ถๅŠไปฅไธŠไธบ้ซ˜้˜ถๅคšๆžๅญๅˆ†้‡ใ€‚้˜ถๆ•ฐ่ถŠ้ซ˜๏ผŒ็ฉบ้—ดๅ˜ๅŒ–่ถŠๅคๆ‚๏ผŒๅฏนๅบ”็š„็ฉบ้—ดๅˆ†่พจ็Ž‡่ถŠ้ซ˜ใ€‚

็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๆ ธๅฟƒ็‰นๆ€งๅœจไบŽๅ…ถๆญฃไบคๅฎŒๅค‡ๆ€ง๏ผšไปปๆ„ๅฎšไน‰ๅœจ็ƒ้ขไธŠ็š„ๅนณๆ–นๅฏ็งฏๅ‡ฝๆ•ฐ f(theta, phi) ๅ‡ๅฏๅฑ•ๅผ€ไธบ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„็บงๆ•ฐ๏ผš

Spherical expansion formula

่ฟ™ไธ€ๆ•ฐๅญฆๆ€ง่ดจๆ˜ฏAmbisonics็†่ฎบ็š„ๅŸบ็Ÿณโ€”โ€”ๅฃฐๅœบไธญ็š„ๅฃฐๅŽ‹ๅˆ†ๅธƒๅฏไปฅๅˆ†่งฃไธบ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„็บฟๆ€ง็ป„ๅˆ๏ผŒๆฏไธ€้˜ถ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅฏนๅบ”ไธๅŒ็ฉบ้—ด็ฒ’ๅบฆ็š„ๅฃฐๅœบไฟกๆฏ[3]ใ€‚ไฝŽ้˜ถๅˆ†้‡ๆ่ฟฐๅฃฐๅœบ็š„ๆ•ดไฝ“็‰นๅพ๏ผˆๅฆ‚ๆ€ปๅฃฐๅŽ‹ใ€ๅฃฐๅœบๆ–นๅ‘๏ผ‰๏ผŒ่€Œ้ซ˜้˜ถๅˆ†้‡ๅˆ™ๆ่ฟฐๆ›ดไธบ็ฒพ็ป†็š„็ฉบ้—ด็ป“ๆž„ใ€‚

ไธ‰ใ€AmbisonicsไธŽ้ซ˜้˜ถAmbisonics็†่ฎบ

3.1 ไปŽไธ€้˜ถๅˆฐ้ซ˜้˜ถ็š„ๆผ”่ฟ›

ไผ ็ปŸ็š„ไธ€้˜ถAmbisonics๏ผˆB-format๏ผ‰ไฝฟ็”จ4ไธช็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผš0้˜ถ็š„ Y_0^0๏ผˆๅ…จๅ‘ๅˆ†้‡W๏ผ‰ๅ’Œ1้˜ถ็š„ Y_1^{-1}ใ€Y_1^0ใ€Y_1^1๏ผˆไธ‰ไธชๅถๆžๅญๅˆ†้‡Xใ€Yใ€Z๏ผ‰ใ€‚่ฟ™4ไธช้€š้“ๅฏไปฅ็ผ–็ ๅฃฐๅœบ็š„ๅŸบๆœฌๆ–นๅ‘ไฟกๆฏ๏ผŒไฝ†็ฉบ้—ดๅˆ†่พจ็Ž‡ไป…็บฆไธบ90ยฐ๏ผŒๆ„ๅ‘ณ็€็›ธ่ท90ยฐไปฅๅ†…็š„ไธคไธชๅฃฐๆบ้šพไปฅ่ขซๅ‡†็กฎๅŒบๅˆ†[3]ใ€‚

้ซ˜้˜ถAmbisonics้€š่ฟ‡ๅผ•ๅ…ฅๆ›ด้ซ˜้˜ถ็š„็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๆฅๅ…‹ๆœ่ฟ™ไธ€้™ๅˆถใ€‚N ้˜ถHOA็ณป็ปŸๅŒ…ๅซไปŽ0้˜ถๅˆฐ N ้˜ถ็š„ๅ…จ้ƒจ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผŒๆ€ปๅ…ฑ (N+1)^2 ไธช้€š้“ใ€‚ไพ‹ๅฆ‚๏ผŒ3้˜ถHOAๅŒ…ๅซ16ไธช้€š้“๏ผŒ4้˜ถๅŒ…ๅซ25ไธช้€š้“๏ผŒ5้˜ถๅŒ…ๅซ36ไธช้€š้“ใ€‚้€š้“ๆ•ฐ้‡็š„ๅขžๅŠ ๅธฆๆฅไบ†็ฉบ้—ดๅˆ†่พจ็Ž‡็š„ๆ˜พ่‘—ๆๅ‡๏ผšN ้˜ถ็ณป็ปŸ็š„่ง’ๅˆ†่พจ็Ž‡็บฆไธบ 360ยฐ/(2N+1)๏ผŒๅณ3้˜ถ็บฆไธบ51ยฐ๏ผŒ4้˜ถ็บฆไธบ40ยฐ๏ผŒ5้˜ถ็บฆไธบ33ยฐใ€‚

3.2 ๅฃฐๅœบ็š„็ƒ่ฐๅฑ•ๅผ€

ๅœจ่‡ช็”ฑๅœบๆกไปถไธ‹๏ผŒๆฅ่‡ชๆ–นๅ‘ (theta_s, phi_s) ็š„ๅนณ้ขๆณขๅœจ็ƒ้ข r ๅค„ไบง็”Ÿ็š„ๅฃฐๅŽ‹ๅฏไปฅๅฑ•ๅผ€ไธบ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„็บงๆ•ฐใ€‚ๆ นๆฎ็ƒ้ข่ฐƒๅ’Œๅˆ†ๆž็†่ฎบ[4]๏ผŒๅฃฐๅŽ‹ๅœบ p(k, r, theta, phi) ๅฏไปฅ่กจ็คบไธบ๏ผš

Sound field spherical expansion

ๅ…ถไธญ๏ผŒk = 2pi f / c ไธบๆณขๆ•ฐ๏ผŒB_n(kr) ไธบ็ฌฌ n ้˜ถๅพ„ๅ‘ๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผˆไธŽ็ƒ้ข็ฑปๅž‹ๆœ‰ๅ…ณ๏ผ‰๏ผŒA_n^m ไธบๅฃฐๅœบ็š„็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐโ€”โ€”ๅณHOAไฟกๅทใ€‚ๅฏนไบŽๅผ€ๆ”พ็ƒ้ข๏ผŒB_n(kr) = 4pi i^n j_n(kr)๏ผŒๅ…ถไธญ j_n ไธบ็ฌฌไธ€็ฑป็ƒ่ดๅกžๅฐ”ๅ‡ฝๆ•ฐ๏ผ›ๅฏนไบŽๅˆšๆ€ง็ƒ้ข๏ผŒๅพ„ๅ‘ๅ‡ฝๆ•ฐไธญ่ฟ˜ๅŒ…ๅซ็ฌฌไบŒ็ฑป็ƒๆฑ‰ๅ…‹ๅฐ”ๅ‡ฝๆ•ฐ้กน๏ผŒ็”จไปฅๆ่ฟฐ็ƒ้ขๆ•ฃๅฐ„ๆ•ˆๅบ”[5]ใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผš็ƒ่ดๅกžๅฐ”ๅ‡ฝๆ•ฐไธŽๅพ„ๅ‘ๅ‡ฝๆ•ฐ

็ƒ่ดๅกžๅฐ”ๅ‡ฝๆ•ฐ j_n(kr) ๆ่ฟฐไบ†็ƒ้ขๆณขๅœจๅพ„ๅ‘๏ผˆr ๆ–นๅ‘๏ผ‰ไธŠ็š„ไผ ๆ’ญ็‰นๆ€ง๏ผŒๆ˜ฏ็ƒๅๆ ‡็ณปไธ‹ Helmholtz ๆ–น็จ‹ๅพ„ๅ‘้ƒจๅˆ†็š„่งฃใ€‚ๅฎƒๅœจ HOA ็†่ฎบไธญๆ‰ฎๆผ”็€ๆ ธๅฟƒ่ง’่‰ฒโ€”โ€”่ฟžๆŽฅไบ†”้บฆๅ…‹้ฃŽ็ƒ้ขๆต‹ๅพ—็š„ๅฃฐๅŽ‹”ไธŽ”่ฟœๅœบ็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐ”ไน‹้—ด็š„ๆกฅๆขใ€‚

ไฝŽ้ข‘ๅ›ฐๅขƒ๏ผšๅฝ“ kr \ll n๏ผˆไฝŽ้ข‘/ๅฐๅŠๅพ„/้ซ˜้˜ถๆ•ฐ๏ผ‰ๆ—ถ๏ผŒj_n(kr) \propto (kr)^n๏ผŒ่ถ‹่ฟ‘ไบŽ้›ถ็š„้€Ÿๅบฆๆžๅฟซใ€‚่ฟ™ๆ„ๅ‘ณ็€๏ผš้ซ˜้˜ถๅˆ†้‡ๅœจไฝŽ้ข‘ๅŒบๅŸŸ็š„็‰ฉ็†ๅ“ๅบ”้žๅธธๅพฎๅผฑ๏ผŒๆขๅคๅฎƒไปฌ้œ€่ฆๅทจๅคง็š„ๅขž็›Š๏ผˆๅพ„ๅ‘ๆปคๆณขๅ™จ๏ผ‰๏ผŒไปŽ่€Œๆ”พๅคง้บฆๅ…‹้ฃŽๆœฌๅบ•ๅ™ชๅฃฐใ€‚่ฟ™ไธ€”ไฝŽ้ข‘้ซ˜้˜ถไฟกๆฏไธขๅคฑ”้—ฎ้ข˜ๆ˜ฏๅฏน HOA ็ณป็ปŸ้˜ถๆ•ฐ็š„ๆ นๆœฌ็‰ฉ็†้™ๅˆถใ€‚

ๅพ„ๅ‘ๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ไธค็ฑป๏ผšๅผ€ๆ”พ็ƒ้ขไฝฟ็”จ B_n(kr) = 4\pi i^n j_n(kr)๏ผ›ๅˆšๆ€ง็ƒ้ข่ฟ˜้œ€ๅŠ ๅ…ฅๆ•ฃๅฐ„้กน๏ผˆๆถ‰ๅŠ็ƒๆฑ‰ๅ…‹ๅฐ”ๅ‡ฝๆ•ฐ h_n^{(2)}(kr) ็š„ๅฏผๆ•ฐ๏ผ‰๏ผŒไฝฟๅพ„ๅ‘ๅ‡ฝๆ•ฐๆ›ดไธบๅคๆ‚ไฝ†ๆ”นๅ–„ไบ†้ซ˜้ข‘ๆ€ง่ƒฝใ€‚

3.3 ้€š้“ๆŽ’ๅบไธŽๅฝ’ไธ€ๅŒ–

HOAไฟกๅท็š„้€š้“ๆŽ’ๅบ้ตๅพชACN๏ผˆAmbisonic Channel Number๏ผ‰็บฆๅฎš๏ผš้€š้“็ดขๅผ• chi = n(n+1) + mใ€‚ๅฝ’ไธ€ๅŒ–ๆ–นๅผไธป่ฆๆœ‰ไธค็ง๏ผšSN3D๏ผˆSchmidtๅŠๅฝ’ไธ€ๅŒ–๏ผ‰ๅ’ŒN3D๏ผˆๅฎŒๅ…จๅฝ’ไธ€ๅŒ–๏ผ‰ใ€‚ๅฝ“ๅ‰ไธš็•ŒๆŽจ่ไฝฟ็”จACN+SN3D็š„็ป„ๅˆ๏ผˆๅณAmbiXๆ ผๅผ๏ผ‰๏ผŒ่ฟ™ไนŸๆ˜ฏYouTube 360ๅ’ŒMPEG-H 3D Audio็ญ‰ๆ ‡ๅ‡†ๆ‰€้‡‡็”จ็š„ๆ ผๅผ[3]ใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผšSN3DไธŽN3Dๅฝ’ไธ€ๅŒ–ๆ–นๆกˆ

็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ็š„ๅฝ’ไธ€ๅŒ–ๅ†ณๅฎšไบ†ไธๅŒ้˜ถๆ•ฐๅˆ†้‡็š„็›ธๅฏน”ๆƒ้‡”๏ผŒ็›ดๆŽฅๅฝฑๅ“ Ambisonics ไฟกๅท็š„ๅน…ๅบฆๅ’Œๅฏไบ’ๆขๆ€งใ€‚

SN3D๏ผˆSchmidt ๅŠๅฝ’ไธ€ๅŒ–๏ผ‰๏ผšไฝฟ 0 ้˜ถๅˆ†้‡ Y_0^0 = 1๏ผˆ่€Œ้ž้€š่ฟ‡็งฏๅˆ†่Œƒๆ•ฐๅฝ’ไธ€ๅˆฐ 1๏ผ‰๏ผŒ้ซ˜้˜ถๅˆ†้‡็š„ๅน…ๅบฆ้š้˜ถๆ•ฐ้€’ๅ‡ใ€‚่ฟ™็งๆ–นๆกˆ็š„็‰ฉ็†ๅซไน‰ๆ˜ฏ๏ผšๅœจ็ƒ้ขไธŠๅ‡ๅŒ€ๅˆ†ๅธƒ็š„ๅฃฐๆบๆฟ€ๅŠฑไธ‹๏ผŒๅ„้˜ถๅˆ†้‡็š„ RMS ่ƒฝ้‡ๅคง่‡ด็›ธ็ญ‰ใ€‚่ฟ™ๆ˜ฏๅฝ“ๅ‰้ฆ–้€‰็š„ๅฝ’ไธ€ๅŒ–ๆ–นๅผ๏ผŒ้…ๅˆ ACN ้€š้“ๆŽ’ๅบๆž„ๆˆ AmbiX ๆ ‡ๅ‡†ๆ ผๅผใ€‚

N3D๏ผˆๅฎŒๅ…จๅฝ’ไธ€ๅŒ–๏ผ‰๏ผšไฝฟๆ‰€ๆœ‰็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅœจ็ƒ้ขไธŠ็š„ Lยฒ ่Œƒๆ•ฐ็ญ‰ไบŽ \sqrt{4\pi}๏ผŒๅณ int_{S^2} |Y_n^m|^2 d\Omega = 4\piใ€‚N3D ็š„ๆ•ฐๅญฆๅฝขๅผๆ›ด”ๆ ‡ๅ‡†”๏ผŒไฝ†ๅ„้˜ถๅˆ†้‡็š„ๅน…ๅบฆๅœจ่‡ช็„ถๅฃฐๅœบไธญๅทฎๅผ‚่พƒๅคงใ€‚

ๅทฅ็จ‹ๅปบ่ฎฎ๏ผš้Ÿณ้ข‘ๅทฅ็จ‹ไธญๅผบ็ƒˆๆŽจ่ไฝฟ็”จ ACN+SN3D๏ผˆAmbiX ๆ ผๅผ๏ผ‰๏ผŒ็กฎไฟไธŽ YouTube 360ใ€MPEG-H 3D Audio ็ญ‰ๆ ‡ๅ‡†็š„ๅ…ผๅฎนๆ€งใ€‚ๆทท็”จไธๅŒๅฝ’ไธ€ๅŒ–ๆ–นๆกˆๆ˜ฏ Ambisonics ๅฎž่ทตไธญๆœ€ๅธธ่งไนŸๆœ€้šพๆŽ’ๆŸฅ็š„้”™่ฏฏๆฅๆบไน‹ไธ€ใ€‚

ๅ››ใ€HOAๅฝ•้ŸณๆŠ€ๆœฏ๏ผš็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—

HOAๅฝ•้Ÿณ็š„ๆ ธๅฟƒๆ˜ฏๅฐ†่ฟž็ปญๅฃฐๅœบ็ฆปๆ•ฃๅŒ–ไธบ็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐ็š„่ฟ‡็จ‹๏ผŒ่ฟ™ไธ€่ฟ‡็จ‹ไพ่ต–็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—ๅฎž็Žฐใ€‚้˜ตๅˆ—ไธญๆฏไธช้บฆๅ…‹้ฃŽ้‡‡้›†็ƒ้ขไธŠๆŸไธ€็‚น็š„ๅฃฐๅŽ‹๏ผŒ้€š่ฟ‡้€‚ๅฝ“็š„ๅŠ ๆƒๆฑ‚ๅ’Œๅณๅฏ่Žทๅพ—ๅ„้˜ถ็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐ็š„่ฟ‘ไผผๅ€ผใ€‚

็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—็ป“ๆž„็คบๆ„ๅ›พ
ๅ›พ2๏ผš4้˜ถHOA็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—็ป“ๆž„็คบๆ„ๅ›พใ€‚้บฆๅ…‹้ฃŽๅ‡ๅŒ€ๅˆ†ๅธƒไบŽๅˆšๆ€ง็ƒ้ข่กจ้ข๏ผŒๆœ€ๅฐ‘้œ€่ฆ (N+1)ยฒ=25 ไธช้บฆๅ…‹้ฃŽใ€‚ๅˆšๆ€ง็ƒ้ข่ฎพ่ฎกๅฏๆœ‰ๆ•ˆๅ‡ๅฐ‘้ซ˜้ข‘็ป•ๅฐ„ๅนฒๆ‰ฐ๏ผŒๆ้ซ˜็ผ–็ ็ฒพๅบฆใ€‚

4.1 ้˜ตๅˆ—็ฑปๅž‹๏ผšๅผ€ๆ”พ็ƒ้ขไธŽๅˆšๆ€ง็ƒ้ข

็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—ไธป่ฆๅˆ†ไธบไธค็ง็ฑปๅž‹๏ผšๅผ€ๆ”พ็ƒ้ข๏ผˆOpen Sphere๏ผ‰ๅ’Œๅˆšๆ€ง็ƒ้ข๏ผˆRigid Sphere๏ผ‰ใ€‚ๅผ€ๆ”พ็ƒ้ข้˜ตๅˆ—ไธญ้บฆๅ…‹้ฃŽๆ‚ฌๆตฎไบŽ่‡ช็”ฑ็ฉบ้—ดไธญ๏ผŒไธๅผ•ๅ…ฅ้ขๅค–ๆ•ฃๅฐ„๏ผŒ็†่ฎบไธŠๆ›ดไธบ็ฎ€ๆดใ€‚็„ถ่€Œๅœจๅฎž้™…ๅบ”็”จไธญ๏ผŒๅˆšๆ€ง็ƒ้ข้˜ตๅˆ—ๆ›ดไธบๅธธ่ง๏ผŒๅ…ถไผ˜ๅŠฟๅœจไบŽ๏ผš้บฆๅ…‹้ฃŽๅฏไปฅ็‰ขๅ›บๅฎ‰่ฃ…ไบŽๅฎžไฝ“็ƒ้ขไธŠ๏ผŒ็ป“ๆž„็จณๅฎšๆ€งๅฅฝ๏ผ›ๅˆšๆ€ง็ƒ้ขๅฏนๅฃฐๆณข็š„ๆ•ฃๅฐ„ๆ•ˆๅบ”ๅฏๅœจ้ซ˜้ข‘ๅŒบๅŸŸๆไพ›้ขๅค–็š„ๆ–นๅ‘ๆ€งไฟกๆฏ๏ผŒๆœ‰ๅˆฉไบŽๆ้ซ˜้ซ˜้ข‘ๆฎต็š„็ฉบ้—ด็ผ–็ ็ฒพๅบฆ[6]ใ€‚

Moreauใ€Danielๅ’ŒBertetๅœจ2006ๅนด็š„ไธ€้กน้‡่ฆ็ ”็ฉถไธญ้ชŒ่ฏไบ†4้˜ถๅˆšๆ€ง็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽ้˜ตๅˆ—็š„ๅฎž้™…ๆ€ง่ƒฝ๏ผŒ้€š่ฟ‡ๅฎข่ง‚ๆต‹้‡็กฎ่ฎคไบ†ๅ…ถๅœจ็ฉบ้—ด็ผ–็ ็ฒพๅบฆๅ’Œๆœ‰ๆ•ˆ้ข‘็Ž‡่Œƒๅ›ดๆ–น้ข็š„ไผ˜ๅŠฟ[7]ใ€‚่ฏฅ็ ”็ฉถไนŸๆŒ‡ๅ‡บไบ†็ฆปๆ•ฃ้˜ตๅˆ—้ขไธด็š„ไธคไธชๆ ธๅฟƒ็‰ฉ็†้™ๅˆถ๏ผš็ฉบ้—ดๆททๅ ๅ’ŒไฝŽ้ข‘ไผฐ่ฎก้—ฎ้ข˜ใ€‚

4.2 ้บฆๅ…‹้ฃŽๅˆ†ๅธƒๆ–นๆกˆ

็ƒ้ขไธŠ้บฆๅ…‹้ฃŽ็š„ๅˆ†ๅธƒๆ–นๅผ็›ดๆŽฅๅฝฑๅ“็ผ–็ ็ฒพๅบฆใ€‚็†ๆƒณ็š„ๅˆ†ๅธƒๅบ”ไฝฟ็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅœจ็ฆปๆ•ฃ้‡‡ๆ ท็‚นไธŠ็š„ๆญฃไบคๆ€งๅฐฝๅฏ่ƒฝๅฅฝใ€‚ๅธธ่ง็š„ๅˆ†ๅธƒๆ–นๆกˆๅŒ…ๆ‹ฌ๏ผš

  • t-่ฎพ่ฎก๏ผˆt-design๏ผ‰๏ผšไฝฟ็ƒ้ขไธŠ็š„ๆ•ฐๅ€ผ็งฏๅˆ†ๅœจๆœ€้ซ˜้˜ถ t = floor(N/2) ไปฅๅ†…็ฒพ็กฎๆˆ็ซ‹๏ผŒๅ‡ๅŒ€ๆ€งๆœ€ไผ˜๏ผŒไฝ†่ฎพ่ฎกๅคๆ‚ใ€‚
  • Gauss-Legendre้‡‡ๆ ท๏ผšๅœจไปฐ่ง’ๆ–นๅ‘้‡‡็”จGauss-Legendreๆฑ‚็งฏ่Š‚็‚น๏ผŒๆ–นไฝ่ง’ๆ–นๅ‘ๅ‡ๅŒ€ๅˆ†ๅธƒ๏ผŒ้€‚็”จไบŽๅ‡ๅŒ€็ƒ้ข้‡‡ๆ ทใ€‚
  • ๅ‡ๅŒ€ๅˆ†ๅธƒ๏ผˆEquiangular๏ผ‰๏ผšๅœจ็ป็บฌๅบฆๆ–นๅ‘ๅ‡ๅŒ€ๅˆ†ๅธƒ๏ผŒๅฎž็Žฐ็ฎ€ๅ•ไฝ†ๆž็‚น้™„่ฟ‘้‡‡ๆ ทๅฏ†ๅบฆๅ้ซ˜ใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผšt-่ฎพ่ฎก๏ผˆt-Design๏ผ‰้‡‡ๆ ทๆ–นๆกˆ

t-่ฎพ่ฎกๆ˜ฏ็ป„ๅˆๆ•ฐๅญฆไธญ็š„ไธ€ไธชๆฆ‚ๅฟต๏ผŒๆŒ‡็ƒ้ขไธŠ็š„ไธ€็ป„็ฆปๆ•ฃ็‚น๏ผŒไฝฟๅพ—ไปปๆ„ไธ่ถ…่ฟ‡ t ้˜ถ็š„็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๅœจ่ฟ™ไบ›็‚นไธŠ็š„ๆ•ฐๅ€ผ็งฏๅˆ†็ญ‰ไบŽ่ฟž็ปญ็งฏๅˆ†๏ผˆไน˜ไปฅ็ƒ้ข็งฏๅŽ๏ผ‰ใ€‚็ฎ€ๅ•ๆฅ่ฏด๏ผš็”จ่ฟ™็ป„็ฆปๆ•ฃ้‡‡ๆ ท็‚นๆฅ่ฎก็ฎ—็ƒ้ขๅ‡ๅ€ผๆ—ถ๏ผŒๅฏนไบŽๆœ€้ซ˜้˜ถไธบ t ็š„็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐๆ˜ฏ็ฒพ็กฎ็š„ใ€‚

ไธบไป€ไนˆ็”จไบŽ HOA๏ผš่ฆ็ฒพ็กฎๆขๅค N ้˜ถ Ambisonics ไฟกๅท๏ผŒ้œ€่ฆ็ƒ้ขไธŠ็š„้‡‡ๆ ท็‚น๏ผˆ้บฆๅ…‹้ฃŽไฝ็ฝฎ๏ผ‰ๅœจ็ƒ่ฐๅŸŸ็š„ๆญฃไบคๆ€งๆกไปถๅฐฝๅฏ่ƒฝๅฅฝใ€‚t-่ฎพ่ฎก๏ผˆt โ‰ฅ 2N๏ผ‰่ƒฝๅคŸไฟ่ฏ็ƒ่ฐ็ณปๆ•ฐไผฐ่ฎก็š„ๆ•ฐๅ€ผ็ฒพๅบฆ๏ผŒๆ˜ฏ็›ฎๅ‰็†่ฎบๆœ€ไผ˜็š„็ƒ้ข้บฆๅ…‹้ฃŽๅˆ†ๅธƒๆ–นๆกˆใ€‚

ๅฎž้™…ๆŒ‘ๆˆ˜๏ผšๅนถ้žๆ‰€ๆœ‰้˜ถๆ•ฐ็š„ t-่ฎพ่ฎก้ƒฝๅญ˜ๅœจ๏ผˆๅญ˜ๅœจๆ€งๅœจๆ•ฐๅญฆไธŠไปๆœชๅฎŒๅ…จ่งฃๅ†ณ๏ผ‰๏ผŒไธ”ๆž„้€ ้ซ˜ t ๅ€ผ็š„ t-่ฎพ่ฎก้žๅธธๅ›ฐ้šพใ€‚ๅฎž้™…ๅทฅ็จ‹ไธญๅธธ็”จๅทฒ็Ÿฅ็š„ t-่ฎพ่ฎก็‚น้›†๏ผˆๅฆ‚็กฌ็ƒ้บฆๅ…‹้ฃŽ็š„ๅผ€ๅญ”ไฝ็ฝฎ๏ผ‰ๆˆ–ๅœจ Lebedev ๆฑ‚็งฏ่Š‚็‚นใ€Gauss-Legendre ็ฝ‘ๆ ผ็ญ‰่ฟ‘ไผผๆ–นๆกˆไธญๆŠ˜่กทใ€‚

ๆ— ่ฎบ้‡‡็”จๅ“ช็งๆ–นๆกˆ๏ผŒ้บฆๅ…‹้ฃŽๆ•ฐ้‡ M ๅฟ…้กปๆปก่ถณ M ็•ฅๅคงไบŽ (N+1)^2๏ผŒไปฅๆไพ›ๅ†—ไฝ™ๅนถๆ”นๅ–„ๆ•ฐๅ€ผๆกไปถๆ•ฐ[5]ใ€‚

4.3 ้˜ตๅˆ—ๅฐบๅฏธไธŽ้ข‘็Ž‡่Œƒๅ›ด

้˜ตๅˆ—ๅŠๅพ„ r ็›ดๆŽฅๅ†ณๅฎšไบ†็ณป็ปŸ็š„ๆœ‰ๆ•ˆ้ข‘็Ž‡่Œƒๅ›ดใ€‚็ฉบ้—ดๆททๅ ้ข‘็Ž‡๏ผˆๅณ็ณป็ปŸ่ƒฝๅคŸๅ‡†็กฎ็ผ–็ ็š„ๆœ€้ซ˜้ข‘็Ž‡๏ผ‰ไธบ๏ผš

Aliasing frequency formula

ๅ…ถไธญ c ไธบๅฃฐ้€Ÿ๏ผˆ็บฆ343 m/s๏ผ‰ใ€‚ไพ‹ๅฆ‚๏ผŒๅฏนไบŽๅŠๅพ„ r = 5 cm ็š„4้˜ถ้˜ตๅˆ—๏ผŒๆททๅ ้ข‘็Ž‡็บฆไธบ4.4 kHz๏ผ›่‹ฅๅฐ†ๅŠๅพ„ๅขžๅคงๅˆฐ r = 10 cm๏ผŒๅˆ™ๆททๅ ้ข‘็Ž‡้™่‡ณ็บฆ2.2 kHzใ€‚่ฟ™ๆ„ๅ‘ณ็€้˜ตๅˆ—ๅฐบๅฏธไธŽๅฏๅค„็†็š„้ข‘็Ž‡่Œƒๅ›ดไน‹้—ดๅญ˜ๅœจๅ†…ๅœจ็š„ๆŠ˜ไธญๅ…ณ็ณปโ€”โ€”ๆ›ดๅคง็š„้˜ตๅˆ—ๆœ‰ๅˆฉไบŽไฝŽ้ข‘ๆฎต็š„็ฉบ้—ด็ผ–็ ๏ผŒไฝ†ไผš้™ไฝŽ้ซ˜้ข‘ๆฎต็š„ๆœ‰ๆ•ˆ่Œƒๅ›ดใ€‚Poletti่ฏฆ็ป†ๅˆ†ๆžไบ†่ฟ™ไธ€็บฆๆŸๅฏน3Dๅฃฐๅœบ็ณป็ปŸๆ€ง่ƒฝ็š„ๅฝฑๅ“[8]ใ€‚

ๆœฏ่ฏญ่ฏฆ่งฃ๏ผš็ฉบ้—ดๆททๅ ๏ผˆSpatial Aliasing๏ผ‰

็ฉบ้—ดๆททๅ ๆ˜ฏ็ฆปๆ•ฃ็ฉบ้—ด้‡‡ๆ ทไธญ็š„ Nyquist ๆ•ˆๅบ”ๅœจ็ƒ้ขไธŠ็š„็ฑปๆฏ”ใ€‚ๅฝ“ๅฃฐๅœบไธญ็š„็ฉบ้—ดๅ˜ๅŒ–้ข‘็Ž‡๏ผˆๅฏนๅบ”็ƒ่ฐๅ‡ฝๆ•ฐ้˜ถๆ•ฐ๏ผ‰่ถ…่ฟ‡้‡‡ๆ ท็ฝ‘ๆ ผ็š„ Nyquist ้™ๅˆถๆ—ถ๏ผŒ้ซ˜้ข‘็ฉบ้—ดไฟกๆฏไผš”ๆŠ˜ๅ ”ๅˆฐไฝŽ้ข‘ๅˆ†้‡ไธญ๏ผŒไบง็”Ÿ่™šๅ‡็š„็ฉบ้—ดๅฐ่ฑกโ€”โ€”็ฑปไผผไบŽๆ—ถ้—ดๅŸŸ้‡‡ๆ ท็Ž‡ไธ่ถณๆ—ถ้ซ˜้ข‘ไฟกๅท่ขซ่ฏฏ่ฏปไธบไฝŽ้ข‘ไฟกๅทใ€‚

ๆททๅ ้ข‘็Ž‡ๅ…ฌๅผ๏ผšf_{\text{alias}} = \frac{Nc}{2\pi r} ่กจๆ˜Ž๏ผŒ็ป™ๅฎš้˜ถๆ•ฐ N ๅ’Œ้˜ตๅˆ—ๅŠๅพ„ r๏ผŒ่ถ…่ฟ‡่ฏฅ้ข‘็Ž‡็š„ๅฃฐๅœบๅˆ†้‡ๅฐ†ๆ— ๆณ•่ขซๅ‡†็กฎ็ผ–็ ใ€‚ไพ‹ๅฆ‚๏ผšๅŠๅพ„ 5cm ็š„ 4 ้˜ถ้˜ตๅˆ—็š„ๆททๅ ้ข‘็Ž‡็บฆ 4.4 kHzโ€”โ€”่ฟ™ๆ„ๅ‘ณ็€ 4.4 kHz ไปฅไธŠ็š„็ฉบ้—ด็ป†่Š‚ๅฐ†ๅ‡บ็Žฐๆททๅ ไผชๅฝฑใ€‚

่ฎพ่ฎกๆƒ่กก๏ผšๅขžๅคงๅŠๅพ„ r ไผš้™ไฝŽๆททๅ ้ข‘็Ž‡๏ผˆไธๅˆฉ้ซ˜้ข‘๏ผ‰๏ผŒไฝ†ๆ”นๅ–„ไฝŽ้ข‘ไฟกๅ™ชๆฏ”๏ผˆๆœ‰ๅˆฉไฝŽ้ข‘๏ผ‰๏ผ›ๅขžๅŠ ้˜ถๆ•ฐ N ๆ้ซ˜ๆททๅ ้ข‘็Ž‡๏ผŒไฝ†้œ€่ฆๆ›ดๅคš้บฆๅ…‹้ฃŽๅ’Œๆ›ด้ซ˜่ฎก็ฎ—ๆˆๆœฌใ€‚่ฟ™ๅฏผ่‡ดไบ† HOA ้˜ตๅˆ—่ฎพ่ฎกไธญ็ปๅ…ธ็š„”ๅฐบๅฏธ-้ข‘็Ž‡-้˜ถๆ•ฐ”ไธ‰่ง’ๆƒ่กกใ€‚

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ๅ‚่€ƒๆ–‡็Œฎ

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